Ramo da Matemática que trata, entre outras coisas, de equações e funções. É dividida em

álgebra clássica e abstrata. A álgebra clássica trata, quase que exclusivamente, de equações e

funções envolvendo apenas os números "comuns" (inteiros positivos e negativos, frações e

decimais), as quatro operações aritméticas (+, -, x, ÷) e duas operações "especiais", a

potenciação (por exemplo, elevar um número ao quadrado ou ao cubo) e a radiciação (por

exemplo, achar a raiz quadrada de um número).

Expressões e equações – Usando esses elementos, são produzidas inúmeras expressões. Um

exemplo das mais simples: x+3, 2y+3z, x²+2x+1 e (w+2)³ (ax+2). Podemos ter também frações

algébricas como: a³+2b

a+1

Usando também a igualdade e a relação de ordem entre os números (podemos sempre

"comparar" dois números), aparecem as equações, como é o caso de x² + 4x + 5 x + 3, e as

funções como f (t) 3t - t².

A álgebra clássica trata também de outras expressões, equações e funções envolvendo, por

exemplo, senos, co-senos, tangentes (que estão ligados a relações entre os lados de triângulos

retângulos) e logaritmos, criados no século XVII pelo escocês John Napier para facilitar a

multiplicação de números grandes. Há também as matrizes, que são tabelas de números.

A álgebra está relacionada com todo tipo de problemas ligados ao desenvolvimento de novas

tecnologias e produtos – de caixas a foguetes. Um exemplo típico desse uso: determinar qual a

caixa de papelão, em forma de "tijolo", na qual cabe, por exemplo, um litro de sorvete, e para a

qual se gasta a menor quantidade possível de material. Se chamarmos as medidas da caixa de x,

y e z, chegaremos a duas equações: A 2 (xy + xz + yz) e xyz 1, em que A é a área de papelão a

ser gasta. Trabalhando com essas equações é possível descobrir que a caixa ideal é um cubo, de

arestas de 10 cm.

Hoje em dia há programas de computador, como o Mathematica® e o Maple®, que

solucionam desde cálculos algébricos (fatoração, por exemplo) até equações bastante

complexas. Mas para usar esses programas é necessário ser capaz de conhecer a álgebra

elementar, saber como as expressões algébricas são escritas e o que se pode fazer com elas.

Álgebra abstrata – A partir do trabalho do matemático francês Évariste Galois (1811-1832)

sobre equações algébricas, no século XIX, cresceu a idéia de estudar sistemas nos quais

"números" e operações não fossem mais os usuais. Nessa direção é que se desenvolveu o que

chamamos de álgebra abstrata, que trabalha a partir de estruturas como grupos (com uma única

operação, que tem certas propriedades), anéis (com duas operações e bastante parecidos com

o que temos nos números inteiros positivos e negativos) e corpos (estruturas parecidas com os

números racionais). Desde o fim do século XIX, a álgebra abstrata tem desempenhado um papel

de destaque na Matemática, sendo ao mesmo tempo uma ferramenta importante e um

instrumento de unificação de suas várias áreas, como a geometria e a teoria dos números. Foi

exatamente essa convergência de áreas que permitiu a recente demonstração do famoso

Teorema de Fermat, que afirma que não existem valores inteiros que satisfaçam a equação xn +

yn zn, se n é um número inteiro maior que 2.

Ramo da Matemática que lida com as propriedades do espaço através de um sistema que utiliza

pontos, linhas, superfícies e sólidos.

A palavra vem do grego geó, "terra", e metrein, "medir", que remonta à origem da geometria

nascida da necessidade prática de medir o tamanho das propriedades agrícolas. Desenvolve-se

inicialmente no Egito, onde as cheias do Rio Nilo cancelavam as divisas entre as glebas. Os

métodos dessa geometria prática não têm grande precisão matemática, mas cumprem sua tarefa.

O problema mais simples em geometria é a determinação de áreas de figuras em duas dimensões

(comprimento e largura) e do volume de sólidos.

Os primeiros geômetras gregos conhecidos, aproximadamente em 600 a.C., são filósofos como

Pitágoras de Samos (582 a.C.?-500 a.C.?), que traduz a geometria prática em um número

limitado de postulados.

O grande organizador da geometria grega é Euclides (300 a.C.?). A base da geometria

euclidiana, que dominou de forma absoluta até o século XIX, tem como postulado a existência

de apenas uma linha paralela a uma linha "m" que contém um dado ponto não pertencente à linha

"m".

No século XIX, três matemáticos – o alemão Carl Friedrich Gauss (1777-1855), o russo

Nikolái Ivanovich Lobachevski (1793-1856) e o húngaro János Bolyai (1802-1860) – imaginam

um substituto do postulado das paralelas de Euclides. A nova teoria admite que por um ponto

que não fosse da linha dada é possível desenhar um infinito número de paralelas. No mesmo

século, o alemão Georg Friedrich Bernhard Riemann (1826-1866) demonstra ser possível uma

outra geometria não-euclidiana sem que existissem paralelas. Essa geometria riemanniana, ou

elíptica, mostra que, na superfície de uma esfera, as linhas "retas" na verdade são círculos. É a

geometria mais adequada para a descrição de fenômenos astronômicos. As Teorias da

Relatividade de Albert Einstein (1879-1955) baseiam-se em uma geometria riemanniana do

espaço curvo .