Ramo da Matemática que trata, entre outras coisas, de equações e funções. É dividida em
álgebra clássica e abstrata. A álgebra clássica trata, quase que exclusivamente, de equações e
funções envolvendo apenas os números "comuns" (inteiros positivos e negativos, frações e
decimais), as quatro operações aritméticas (+, -, x, ÷) e duas operações "especiais", a
potenciação (por exemplo, elevar um número ao quadrado ou ao cubo) e a radiciação (por
exemplo, achar a raiz quadrada de um número).
Expressões e equações – Usando esses elementos, são produzidas inúmeras expressões. Um
exemplo das mais simples: x+3, 2y+3z, x²+2x+1 e (w+2)³ (ax+2). Podemos ter também frações
algébricas como: a³+2b
a+1
Usando também a igualdade e a relação de ordem entre os números (podemos sempre
"comparar" dois números), aparecem as equações, como é o caso de x² + 4x + 5 x + 3, e as
funções como f (t) 3t - t².
A álgebra clássica trata também de outras expressões, equações e funções envolvendo, por
exemplo, senos, co-senos, tangentes (que estão ligados a relações entre os lados de triângulos
retângulos) e logaritmos, criados no século XVII pelo escocês John Napier para facilitar a
multiplicação de números grandes. Há também as matrizes, que são tabelas de números.
A álgebra está relacionada com todo tipo de problemas ligados ao desenvolvimento de novas
tecnologias e produtos – de caixas a foguetes. Um exemplo típico desse uso: determinar qual a
caixa de papelão, em forma de "tijolo", na qual cabe, por exemplo, um litro de sorvete, e para a
qual se gasta a menor quantidade possível de material. Se chamarmos as medidas da caixa de x,
y e z, chegaremos a duas equações: A 2 (xy + xz + yz) e xyz 1, em que A é a área de papelão a
ser gasta. Trabalhando com essas equações é possível descobrir que a caixa ideal é um cubo, de
arestas de 10 cm.
Hoje em dia há programas de computador, como o Mathematica® e o Maple®, que
solucionam desde cálculos algébricos (fatoração, por exemplo) até equações bastante
complexas. Mas para usar esses programas é necessário ser capaz de conhecer a álgebra
elementar, saber como as expressões algébricas são escritas e o que se pode fazer com elas.
Álgebra abstrata – A partir do trabalho do matemático francês Évariste Galois (1811-1832)
sobre equações algébricas, no século XIX, cresceu a idéia de estudar sistemas nos quais
"números" e operações não fossem mais os usuais. Nessa direção é que se desenvolveu o que
chamamos de álgebra abstrata, que trabalha a partir de estruturas como grupos (com uma única
operação, que tem certas propriedades), anéis (com duas operações e bastante parecidos com
o que temos nos números inteiros positivos e negativos) e corpos (estruturas parecidas com os
números racionais). Desde o fim do século XIX, a álgebra abstrata tem desempenhado um papel
de destaque na Matemática, sendo ao mesmo tempo uma ferramenta importante e um
instrumento de unificação de suas várias áreas, como a geometria e a teoria dos números. Foi
exatamente essa convergência de áreas que permitiu a recente demonstração do famoso
Teorema de Fermat, que afirma que não existem valores inteiros que satisfaçam a equação xn +
yn zn, se n é um número inteiro maior que 2.
Ramo da Matemática que lida com as propriedades do espaço através de um sistema que utiliza
pontos, linhas, superfícies e sólidos.
A palavra vem do grego geó, "terra", e metrein, "medir", que remonta à origem da geometria
nascida da necessidade prática de medir o tamanho das propriedades agrícolas. Desenvolve-se
inicialmente no Egito, onde as cheias do Rio Nilo cancelavam as divisas entre as glebas. Os
métodos dessa geometria prática não têm grande precisão matemática, mas cumprem sua tarefa.
O problema mais simples em geometria é a determinação de áreas de figuras em duas dimensões
(comprimento e largura) e do volume de sólidos.
Os primeiros geômetras gregos conhecidos, aproximadamente em 600 a.C., são filósofos como
Pitágoras de Samos (582 a.C.?-500 a.C.?), que traduz a geometria prática em um número
limitado de postulados.
O grande organizador da geometria grega é Euclides (300 a.C.?). A base da geometria
euclidiana, que dominou de forma absoluta até o século XIX, tem como postulado a existência
de apenas uma linha paralela a uma linha "m" que contém um dado ponto não pertencente à linha
"m".
No século XIX, três matemáticos – o alemão Carl Friedrich Gauss (1777-1855), o russo
Nikolái Ivanovich Lobachevski (1793-1856) e o húngaro János Bolyai (1802-1860) – imaginam
um substituto do postulado das paralelas de Euclides. A nova teoria admite que por um ponto
que não fosse da linha dada é possível desenhar um infinito número de paralelas. No mesmo
século, o alemão Georg Friedrich Bernhard Riemann (1826-1866) demonstra ser possível uma
outra geometria não-euclidiana sem que existissem paralelas. Essa geometria riemanniana, ou
elíptica, mostra que, na superfície de uma esfera, as linhas "retas" na verdade são círculos. É a
geometria mais adequada para a descrição de fenômenos astronômicos. As Teorias da
Relatividade de Albert Einstein (1879-1955) baseiam-se em uma geometria riemanniana do
espaço curvo .